1000个瓶子和10个小白鼠的算法题

这是道编码题，而且$2^{10}=1024$，会想到二进制编码。先瓶子编号向量$X$为00_0000_0000到11_1110_0111。老鼠喝水操作的矩阵$A$，第一行$A_{1*}=$10_0000_0000，表示一号老鼠喝所有$X=$1x_xxxx_xxxx的水，x表示0和1都喝。$Y_1=A_{1*}X$用于标志从左到右的$X$第一位是0或1。第二行$A_{2*}=$01_0000_0000，表示一号老鼠喝所有$X=$x1_xxxx_xxxx的水。以此类推。

老鼠死掉的编码$Y$就是毒药瓶子的编码，因为$A=I$。比如0号瓶是毒药，$Y$=00_0000_0000；如果1号瓶是毒药，$Y$=00_0000_0001。1代表老鼠死掉。每个瓶子对应唯一的$Y$。

$Y=AX$

进一步，只要$A$是正交基，$X$通过$A$投影，有唯一$Y$对应。