证明马尔可夫不等式

Markov Inequality的表达式为

$$\text{Pr}(X>a)\leq \frac{\text{E}(x)}{a}.$$

它描述了一个非负随机变量大于一个给定值的概率的上限。比如说随机变量$X$的期望是10，那么$X>20$的概率不超过$1/2$。一个著名的应用是不超过五分之一的人口会有超过五倍于人均收入的收入。

证明如下：

假设$X$的密度函数为$f(x)$，那么期望可以写成

\begin{eqnarray*}\text{E}(x)&=&\int_0^\infty xf(x)dx\\&=&\int_0^a xf(x)+\int_a^\infty xf(x)dx\\&\leq&0+a\int_a^\infty f(x)=a\text{Pr}(X>a).\end{eqnarray*}

两边同时除以$a$,我们可以得到$\text{Pr}(X>a)\leq \frac{\text{E}(X)}{a}$.