对于独立正态变量X, Y ~ N(0,1)，X+Y和X-Y是否独立？

是独立的。

两个不相关的变量如果是联合正态分布的，那么就一定是独立的。

或者也可以用矩母函数的方法来证明，只要证明$M_{X+Y,X-Y}(t_1,t_2)=M_{X+Y}(t_1) M_{X-Y}(t_2)$，就可以说明它们是独立的了。

矩母函数的证明可以看这里。

还以证明$X+Y,X-Y$都是Gaussian，并且covariance=0。

$X+Y \sim N(0,2)$

$X-Y \sim N(0,2)$

$cov(X+Y,X-Y)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2-2XY)$

$=E(X^2)-E(Y^2)-2E(XY)=1-1-0=0$