怎么证明根号2是无理数？

反证法。假设$\sqrt{2}$是有理数，那么存在互质的两个正整数$a$,$b$使得$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$。

两边同时平方，可以得到$a^2=2b^2$。可见$a$必须是偶数，令$a=2k$，那么$4k^2=2b^2$。可得$b^2=2k^2$，所以$b$也必须是偶数。

$a$和$b$都是偶数，和互质矛盾，所以假设不成立。