对称的实数矩阵的所有特征值都是实数吗

特征值必须是实数，不可能是虚数。

证明如下：

假设$(v,\lambda)$是矩阵$A$的特征对，也就是$Av=\lambda v$。

然后我们对上式两边同时取共轭，得$\overline{Av}=\overline{\lambda v}$，也就是$\bar{A} \bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}$。

因为$A$是实矩阵，所以$A$的共轭就是$A$本身，$A \bar{v}=\bar{\lambda} \bar{v}$。

接着对上式两边同时取转置，可得$\bar{v}^TA^T=\bar{\lambda} \bar{v}^T$。

又因为$A$是对称的，也就是$A=A^T$，所以，$\bar{v}^TA=\bar{\lambda} \bar{v}^T$。

最后，用特征向量$v$右乘等式两边，可得$\bar{v}^TAv=\bar{\lambda} \bar{v}^Tv$，也就是$\lambda\bar{v}^Tv=\bar{\lambda}\bar{v}^Tv$。因为特征向量不能是零向量，所以$\bar{v}^Tv\neq 0$，所以$\lambda = \bar{\lambda}$，所以所有特征值必须为实数。