假设有一个对称矩阵,它的元素都是实数,那这个矩阵的所有特征值都是实数吗?有没有可能是虚数?
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特征值必须是实数,不可能是虚数。
证明如下:
假设(v,λ)是矩阵A的特征对,也就是Av=λv。
然后我们对上式两边同时取共轭,得¯Av=¯λv,也就是ˉAˉv=ˉλˉv。
因为A是实矩阵,所以A的共轭就是A本身,Aˉv=ˉλˉv。
接着对上式两边同时取转置,可得ˉvTAT=ˉλˉvT。
又因为A是对称的,也就是A=AT,所以,ˉvTA=ˉλˉvT。
最后,用特征向量v右乘等式两边,可得ˉvTAv=ˉλˉvTv,也就是λˉvTv=ˉλˉvTv。因为特征向量不能是零向量,所以ˉvTv≠0,所以λ=ˉλ,所以所有特征值必须为实数。
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