两个独立的正态随机变量的乘积服从什么分布？

$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$并且$X$和$Y$独立。要确定它们的乘积$XY$的概率分布，我们可以通过正态分布的密度函数来计算出$XY$的密度函数。

\begin{eqnarray*}f_{XY}(z)&=&\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\delta(xy-z)dxdy\\&=&\frac{K_0(|z|)}{\pi}\end{eqnarray*}

这个$K_0(z)$是第二类修正贝塞尔函数。以上是正规解法，具体可参考本链接。

以下是粗暴解法，我们可以直接做similation看看。下图是根据10000个点描绘出来的概率密度曲线。

其实，我们还有另外一种聪明的方式来理解$XY$的分布。

$$XY = \frac{(X+Y)^2 - X^2 - Y^2}{2}.$$

$X$和$Y$都是正态分布，所以$X+Y$是正态分布。所以可见$XY$其实是一个卡方分布减去两个卡方分布的结果。