X,Y 独立并且，X~U(0,2)以及Y∼U(1,3)。求max(X,Y) 的期望。

令$Z=max(X,Y)$, 作图如下。

可以看到红色区域的mean=1.5，紫色mean=2.5，蓝色mean=2.5，

绿色mean= $\int_{1}^{2}\int_{x}^{2}ydydx=5/3$

橙色mean= $\int_{1}^{2}\int_{y}^{2}xdxdy=5/3$

整体mean=$(1.5+2.5+2.5+5/3*0.5+5/3*0.5)/4=2.04$

import numpy as np
n=100000
x = np.random.uniform(0, 2,n)
y = np.random.uniform(1, 3,n)
z=np.maximum(x,y)
print(np.mean(z))

2.0405704490035905

偷懒做个模拟

import numpy as np
x = np.random.uniform(0, 2, 1000000)
y = np.random.uniform(1, 3, 1000000)
print(np.mean(np.max([x, y], axis=0)))

得到的结果是2.041519543743509