矩阵A乘以B的秩等于B乘以A的秩吗

• 它们的秩未必相等。

如果$A$和$B$都是方阵，$A$是可逆的，那么$Rank(AB)=Rank(BA)$。

当然还有很多情况，它们的秩是不等的，比如说矩阵

$$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

$$ B = \left[ \begin{matrix} -1 & -1\\ 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

做一做乘法，我们可以发现

$$ AB = \left[ \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{matrix} \right] $$

然而

$$ BA = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right]$$

很明显，$Rank(AB)=0\neq Rank(BA)=1$。