比如说我们有两个线性空间A和B,那么它们的并集A∪B也一定是个线性空间吗?
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不一定的。举个反例就可以说明。
假设A={(x,0)|∀x∈R},B={(y,0)|∀y∈R}。也就是说,A是平面坐标系中的x轴上的任意点组成的集合,B是平面坐标系中的y轴上任意点组成的集合。那么,A∪B就是x轴和y轴上所有点的集合。
显然A和B都线性空间。假如A∪B也是线性空间,那么对于任意的a,b∈A∪B,a+b应该依然是A∪B中的元素。我们可以取a=(1,0)∈A,b=(0,1)∈B,显然a,b∈A∪B,但是a+b=(1,1)∉A∪B。这违背了线性空间的定义。所以两个线性空间的并集未必是线性空间。