向量的内积、外积分别是什么意思？

两个向量的内积（有时候叫做点积），得到的是一个数

$\langle u, v\rangle = u^Tv$，要求$u$和$v$的维数必须是一样的。

两个向量的外积，得到的是一个矩阵

如果把向量写成列向量的形式，那么外积就是$u\circ v=uv^T$

比如$u$是$m\times 1$的向量，$v$是$n\times 1$的向量，那么外积的结果就是$m\times n$的矩阵。

比如说两个向量

$x=(1, 2)$, $y=(3, 4)$

它们的内积是

$$1\times 3 + 2\times 4=11$$

它们的外积是

$$\begin{pmatrix}1\times 3 & 1\times 4 \\ 2 \times 3 & 2\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{pmatrix}$$