什么样的优化问题算是凸优化？

凸优化问题是一种特殊的优化问题。凸优化问题的形式是

$$\min_{x\in S} f(x),$$

其中$f(x)$是凸函数，可行域$S$是凸集。

此外还有个等价形式

\begin{eqnarray*}&&\min_{x}f(x)\\ &\text{subject to}&g_i(x) \leq 0, \text{for }i=1,2,\cdots,k\end{eqnarray*}

其中$f(x)$和所有的限制函数$g_i(x)$都必须是凸函数。

凸优化问题有个很好的性质，它的局部最优解一定是全局最优解。（为什么？可以看这里）