概率论中的鞅是什么？

鞅是一种特殊的随机过程。另外一个著名的随机过程马尔可夫链的特点是无记忆性，鞅的特点是公平性。鞅的英文是martingale，原意是骑马的缰绳，有一种“控制平衡、公平”的意思。

鞅的数学定义是，对于所有$n$，都满足

\begin{eqnarray*}&&\text{E}(|X_n|)\lt\infty\\&&\text{E}(X_{n+1}|X_1,X_2,\cdots,X_n)=X_n.\end{eqnarray*}

这个意思是说已知之前所有事件的观测值，下一次观测值的条件期望等于当前的观测值。

举个例子，一个爬虫从实数轴的原点出发，每天以0.5的概率向前爬1,0.5概率向后爬1，$X_n$是第$n$天后爬虫的坐标。显然$X_1,X_2,\cdots$这就是一个鞅，因为不管爬虫今天的坐标是什么，明天的期望坐标就是今天的坐标。

但是如果向前爬的概率是0.8，向后爬的概率是0.2，那么这个就不是鞅了，因为明天的期望坐标总是大于今天的坐标的。这也就是为什么说，鞅是个公平的随机过程。