怎么理解分位数回归quantile regression的目标函数？

Quantile Regression可以看作广义的LAD Regression.

假设$\text{y}=(y_1,y_2,\cdots, y_n)$为真实值，$\hat{\text{y}}=(\hat{y_1},\hat{y_2},\cdots,\hat{y_n})$为预测值，那么参数为$q$的Quantile Regression的目标函数为

$$L_q(\text{y},\hat{\text{y}})=\frac{1}{n}(1-q)\sum_{i:\hat{y_i}\geq y_i}(\hat{y_i} - y_i)+\frac{1}{n}q\sum_{j:\hat{y_j}< y_j}(y_j-\hat{y_j} )$$

当$q=0.5$时，Quantile Regression就退化为LAD Regression，也就是所谓的中位数回归。

$$L_{0.5}(\text{y},\hat{\text{y}})=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n|\hat{y_i}-y_i|$$.

当$q>0.5$时，目标函数$L_q$对预测值偏小的结果惩罚更大。

当$q<0.5$时，目标函数$L_q$对预测值偏大的结果惩罚更大。