泊松回归的公式是什么？

泊松回归是GLM中的一种，link function是log，但是并不等价于“对y取对数，然后做线性回归”。

对log(y)做线性回归，是表示log(y)服从正态分布。泊松回归是需要y服从泊松分布的，也就是

$$P(y_i|x_i, \theta)=\frac{1}{y_i!}\text{exp}(y_i\theta^Tx_i-e^{\theta^Tx_i})$$

$y_i$的均值是

$$\hat y_i = e^{\theta ^T x_i}$$

$\theta$是回归系数。求解$\theta$是根据对数最大似然估计，

$$l(y|x,\theta)=\sum_{i=1}^n\left(y_i\theta^T x_i-\text{exp}(\theta^Tx_i) - \log(y_i!)\right)$$

Poisson regression实际上就是把y取log，然后做线性回归。

log(y) = ax + b

训练出a和b，然后再做预测

log(y') = ax' + b

得到预测值y' = exp(ax' + b).