如果迫使一个线性回归模型的截距为0，会有什么坏处吗？

参考Covariance_matrix，线性回归的假设是输入$X$和输出$Y$是联合正态分布。$X$是列向量，每一列为一个数据点。

$ \mu_{X,Y} = \begin{pmatrix} \mu_{X} \\ \mu_{Y} \end{pmatrix} $

$ \Sigma_{X,Y} = \begin{pmatrix} \Sigma_{XX} & \Sigma_{XY} \\ \Sigma_{YX} & \Sigma_{YY} \end{pmatrix} $

线性回归是求conditional mean

$\mu_{Y|X}=\mu_Y+\Sigma_{YX}\Sigma_{XX}^{-1}(X-\mu_X)$

$=\Sigma_{YX}\Sigma_{XX}^{-1}X   + (\mu_Y-\Sigma_{YX}\Sigma_{XX}^{-1}\mu_X)$

$=wX+b$

其中$w=\Sigma_{YX}\Sigma_{XX}^{-1}$,

$b=\mu_Y-w\mu_X$

如果要截距$b=0$，一个充分条件是$\mu_Y=0$，$\mu_X=0$。一般$X$要作normalization，可以保证$\mu_X=0$，还需要让$\mu_Y=0$。几何上意义是通过对原始数据$X,Y$的平移变换(Translation)，让拟合的直线过坐标的原点。

如果$X,Y$没有减去均值，而且强行令$b=0$ ，则偏差为$\mu_Y-w\mu_X$

我觉得你不应该人为的限制截距为0。

首先，如果常数项为0，那么它本质上已经不是一个正确的线性回归了。

其次，如果它本身的特征决定了常数项是0，应该不是由人为所决定，而是通过数据学习得到的。