一升水，随意倒入三个杯子，其中有一杯大于0.5升的概率是多少

分情况讨论吧

第一种：

第一杯大于0.5升的概率

$$P_1=0.5$$

第二种：

假设第一杯倒出$x$升水，那么第二杯大于0.5升的概率

$$P_2=\int_{0}^{0.5}\frac{1-x-0.5}{1-x}dx$$

第三种：

假设第一杯倒出$x$升水，那么第一杯水和第二杯加起来小于等于0.5升的概率

$$P_3=\int_{0}^{0.5}\frac{0.5-x}{1-x}dx$$

其中有一杯大于0.5升的概率是

$$P_1+P_2+P_3=0.5+\int_{0}^{0.5}\frac{1-2x}{1-x}dx=2x+\log(|x-1|)+0.5$$

最后答案就是

$$1.5+\log(0.5)\approx 0.807$$

面试题都这么变态的吗，正在找工作的我感受到了恐惧。。

想了一晚上没想出个具体的解，但是想出个思路感觉也许可行（计算也比较麻烦），希望能得到指点。

假设事件A、B、C分别表示每杯水的水量，皆服从均匀分布，其中有一杯大于0.5升的相反事件就是三杯水都小于0.5升，于是有：

P(至少一杯水>0.5L) = 1 - P(A<0.5)P(B<0.5|A<0.5)P(C<0.5|A<0.5,B<0.5)

P(A<0.5)就是0.5了，接下来要解P(B<0.5|A<0.5)就要考虑条件分布P(B|A)，根据贝叶斯公式有：

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

边缘密度p(A)就是1；现求先验分布p(B)：已知B服从均匀分布U(0,1-A)，这里的超参数A是未知的，但是A的分布我们知道。这里可以采用双层贝叶斯，相当于p(A)作为第二层先验，那第二层的贝叶斯分母部分就是B的边缘概率密度：

$p(B)=\int_{0}^{1-B} 1/(1-A)*1\ dA$

把A积掉以后得到一个关于B的概率函数p(B)；然后，易知密度函数p(A|B)=1/(1-B)，与p(B)相乘之后得后验密度p(B|A) ，将其对B和A在0到0.5上进行二重积分可以得到P(B<0.5|A<0.5)。

同样的道理P(C<0.5|A<0.5,B<0.5)我想也是可求的。

不过我想你们的面试单位一定有什么奇技淫巧，这种计算这么麻烦显然不是正确答案。抛砖引玉，等一个更好的解。最后祝愿楼主面试顺利通过。

感觉和这个问题（一米长的绳子，随机剪两刀，最长的一段有多长？）类似