圆环上随机三个点组成一个锐角三角形的概率

假设圆心为原点，$\theta_A=0$,

当$0 < {\theta _B} < \pi \\ $时，$-\pi+\theta_B<\theta_C<\pi$为钝角三角形。

$$\int_0^\pi {\int_{ - (\pi - {\theta _B})}^\pi {p({\theta _C})p({\theta _B})d{\theta _C}} } d{\theta _B}=\frac{1}{4{\pi^2}}\int_0^\pi({2\pi-\theta_B})d\theta_B=\frac{3}{8}$$

当$\pi< {\theta _B} < 2\pi$时，$\pi<\theta_C<3\pi-\theta_B$, 概率也等于3/8。所以最终为钝角三角形的概率为3/4。

假设要组成一个钝角三角形，那么三个点必须在圆心的一侧。

固定第一个点。这样就变成了俩个变量的概率题了。

此时设第二个点落在第一个点为0°，落在第一个点对面为180°。设第二个点落在θ的位置。经过画图验证，第三个点可以组成钝角三角形的可行范围是（360°-θ)。

计算面积得到0.75的概率。

所以锐角三角形是0.25。

假设圆周的总长度为1，并且A点是固定的，从A点顺时针方向的第一个点为B，第二个点为C。

假设圆弧长度$AB=x_1$，圆弧长度$AC=x_2$，为了使得$ABC$为一个锐角三角形，我们需要

$$x_1\in (0, 0.5),~~x_2 \in (0.5, 0.5+x_1)$$

那么A、B、C能构成锐角的概率为

$$\int_{0}^{1/2}1\int_{1/2}^{x_1+1/2}1dx_2dx_1=\int_0^{1/2}x_1dx_1=\frac{1}{4}$$

钝角的概率就是0.75

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感谢Zealing的指正！答案已修正。

最近刚好在一个网站上看到过

第一种思路是考虑三个点组成钝角三角形的概率。分为三种情况: 顺时针方向第一个是A且B, C均距离A不超过一个半圆的概率，两个概率都是恰好1/2所以总概率1/4.然后再考虑顺时针方向第一个是B，概率也是1/4；顺时针方向第一个是C，概率也是1/4。故总概率为3/4。

另一种做法更加巧妙，但不太容易描述清楚。