对函数进行log变换后，它的凹凸性会变吗？

要判断一个（光滑）函数的凹凸性，只要对它求二阶导就可以了，二阶导小于等于0，说明是凹；大于等于0，说明是凸的。。

比如某个函数$f(x)$，我们想知道$\log f(x)$的凹凸性，就只需要对$\log f(x)$求导。

$$\left(\log f(x)\right)''=\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)'=\frac{f(x)f''(x)-(f'(x))^2}{f^2(x)}$$

因为$f(x)$能够被取log，所以肯定是正数。

如果$f(x)$是凹函数，那么$\log f(x)$还是凹函数。

如果$f(x)$是凸函数，那么$\log f(x)$不一定是凸函数。

如果likelihood function是凹的，那么log likelihood function肯定也是凹的，导数为0的点就是最大值点。

sasa已经讲得挺清楚的了，我就补充一个小例子

左边是凸函数，右边是取对数后，变成了凹函数