怎么从矩母函数(mgf)推导得到概率密度函数(pdf)？

参考这里

一般是用查表，凑出pdf。如果不查表，直接用公式的话：

Moment generating function: $M_x(t)=E(e^{tx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f_X(x)dx$

把$t$换成$it$，得到Characteristic function：$\varphi_x(t)=E(e^{itx})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f_X(x)dx$

再由Inversion formulae $f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\varphi_x(t)dt$

注意最后一个公式是傅里叶反变换。一般到这步还是查表。

如果是离散的情况，应该好办，就是求一组线性方程吧。

如果是连续的话，就看你能不能求出每个moment的通项了，然后和一些常用分布的moment进行比较，然后确定分布，然后就有pdf了。

如果是直接公式从mgf到pdf的话，我就不知道了。

期待有人能够回答。

这是个经典的问题，叫做经典矩问题(Classical Moments Problem)。

对于连续分布，如果只知道有限个矩函数，那么是无法确定概率密度分布的，这时可以考虑最大熵方法来估计这个概率分布。如果想知道细节的话，可以看这篇论文Maximum entropy and the problem of moments: A stable algorithm