自助法(bootstrap)的0.632是怎么来的？

有$n$个样本，我们有放回的随机从中抽取$n$次。

在第一次抽取时，样本A被选中的概率是$\frac{1}{n}$，不被选中的概率自然就是$1-\frac{1}{n}$。每次抽取都是独立的，所以当抽完$n$次之后，A一次都没有被抽中的概率就是

$$(1-\frac{1}{n})^n.$$

这个式子眼熟吗？这个就是高等数学中那个著名的极限

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}n)^n=\frac{1}{e}.$$

所以当bootstrap样本总数很大的时候，任意一个样本被抽中的概率就是$1-\frac{1}{e}\approx1-\frac{1}{2.71828}\approx0.632$。